LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES, REGISSANT L'ECOULEMENT D'UN FLUIDE VISQUEUX, SE SIMPLIFIENT DANS LES REGIONS OU L'ECOULEMENT EST IRROTATIONNEL, ET SE REDUISENT ALORS A L'EQUATION SCALAIRE DU POTENTIEL. LE BUT DE CE TRAVAIL EST DE DECOMPOSER LE DOMAINE DE CALCUL EN DEUX SOUS-DOMAINES: LE PREMIER OU LES HYPOTHESES DE FLUIDE POTENTIEL RESTENT VALIDES, ET LE SECOND OU L'ECOULEMENT EST REGI PAR LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. UNE METHODE DE COUPLAGE DES DEUX MODELES AINSI OBTENUS SERA PROPOSEE, EN S'APPUYANT SUR UNE DISCRETISATION EN TEMPS DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES PAR DECOMPOSITION D'OPERATEURS. DES EXPERIENCES NUMERIQUES UTILISANT CETTE METHODOLOGIE ONT ETE EFFECTUEES, ET LEUR VALIDITE ETUDIEE PAR COMPARAISON AVEC LA RESOLUTION GLOBALE DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES
RAPPEL DE DIFFERENTES TECHNIQUES DE DECOMPOSITION. INTRODUCTION D'UNE NOUVELLE METHODE DE COORDINATION DANS LE CAS D'UN PROBLEME LINEAIRE MODELE DE TYPE LAPLACIEN, REPOSANT SUR UNE FORMULATION EN MOINDRES CARRES SOUS FORME D'UN PROBLEME DE CONTROLE OPTIMAL. CE PROBLEME, DISCRETISE EN ELEMENTS FINIS, PEUT ETRE RESOLU, SOIT PAR UNE METHODE DE GRADIENT CONJUGUE, SOIT PAR UNE METHODE QUASI DIRECTE. COMPARAISON DES DIFFERENTS ALGORITHMES EN CE QUI CONCERNE L'INFLUENCE DES CONDITIONS AUX LIMITES SUR LA VITESSE DE CONVERGENCE. MISE EN OEUVRE DE LA METHODE QUASI DIRECTE SUR DEUX PROCESSEURS VECTORIELS. UTILISATION DE LA NOUVELLE METHODE DE DECOMPOSITION POUR RESOUDRE, PAR MOINDRES CARRES, UN PROBLEME DE DIRICHLET, PUIS LES EQUATIONS DE NAVIER STOKES. EXPERIENCES NUMERIQUES DANS LE CAS DE L'ECOULEMENT AUTOUR D'UN CYLINDRE ET AUTOUR D'UN MULTICORPS
Dans cette thèse, nous nous intéressons à la simulation numérique d'écoulements instationnaires de deux fluides visqueux non miscibles, séparés par une interface mobile. Plus particulièrement des écoulements sans choc constitués d'une phase gazeuse et d'une phase liquide sont considérés. Pour modéliser de tels écoulements, une approche dans laquelle le gaz est décrit par les équations de Navier-Stokes compressible et le liquide par les équations de Navier-Stokes incompressible est proposée. C'est le couplage de ces deux modèles qui constitue l'originalité et l'enjeu principal de de cette thèse. Pour traiter cette difficulté majeure, une méthode globale (i.e. la même dans chaque phase) et simple à mettre en oeuvre est élaborée. L'utilisation des équations de Navier-Stokes formulées de façon unifiée pour les inconnues primitives (pression, vitesse et température) constitue le point de départ pour la construction de notre méthode qui repose sur les composants suivants: une méthode d'éléments finis stabilisés pour la discrétisation spatiale des équations de Navier-Stokes; une approche Level Set pour représenter précisément l'interface dont l'équation de transport a été résolue par une méthode de type Galerkin Discontinu; et des grandeurs moyennes pour traiter les discontinuités à l'interface. Le bon comportement de notre approche est illustré sur différents tests mono et bi-dimensionnels.
L'ETUDE PORTE SUR LA RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES COMPRESSIBLE EN ELEMENTS FINIS NON STRUCTURES A L'AIDE DE SCHEMAS CENTRES EFFICACES ET PRECIS. L'ORIGINALITE DE CETTE THESE RESIDE DANS LA MISE EN EVIDENCE, DANS LE CAS COMPRESSIBLE, DE PROBLEMES D'APPROXIMATIONS DU MEME TYPE QUE CEUX RENCONTRES DANS L'INCOMPRESSIBLE. LA RESOLUTION DES EQUATIONS A L'AIDE D'APPROXIMATIONS COMPATIBLES PERMET L'ELIMINATION DES MODES PARASITES. UN NOUVEL ELEMENT FINI, VERIFIANT LA CONDITION LBB ASSOCIEE A LA FORMULATION D'HELMHOLTZ DU PROBLEME DE STOKES INCOMPRESSIBLE, EST PRESENTE. DES PROPRIETES DE L'ELEMENT P#1-BULLE SONT MISES EN EVIDENCE. L'IMPLEMENTATION D'ALGORITHMES ITERATIFS ROBUSTES, A FAIBLE STOCKAGE, COUPLES AVEC DES PRECONDITIONNEURS OBTENUS APRES ANALYSE DE FOURIER OU LINEARISATION APPROCHEE, NOUS A PERMIS D'OBTENIR UN CODE DE CALCUL BI ET TRIDIMENSIONNEL PERFORMANT, CECI A LA FOIS POUR DES ECOULEMENTS STATIONNAIRES ET INSTATIONNAIRES
L’objectif de cet ouvrage est de décrire les fondements théoriques de la méthode des volumes finis qui est aujourd’hui reconnue, à bien des égards, comme étant la méthode de choix pour la simulation numérique en mécanique des fluides. Il s’adresse principalement aux étudiants de master ou d’écoles d’ingénieurs qui souhaitent s’initier aux principes de la simulation numérique en mécanique des fluides basée sur la méthode des volumes finis. Après une introduction sur l’essor et les enjeux de la simulation numérique, les équations de conservation en mécanique des fluides sont rappelées. L’ouvrage introduit ensuite les concepts de base de la méthode des volumes finis et aborde la notion de maillage (maillage structuré, multibloc, non-structuré, non-conforme,…). L’équation de transport d’une quantité scalaire est utilisée comme équation modèle et la discrétisation de chacun de ses termes (terme temporel, terme diffusif, terme convectif et terme source ou puits) est détaillée. Une attention particulière est portée sur les notions fondamentales comme l’ordre de précision, la stabilité et la convergence des schémas numériques. La discrétisation des équations de Navier-Stokes incompressibles en variables primitives est ensuite abordée en détail. Un chapitre spécifique est consacré à l’implémentation des différents types de conditions aux limites. Ce Tome 1, résolument axé sur la mise en œuvre pratique de la méthode des volumes finis dans des géométries simples, est une introduction très didactique qui ouvrira le lecteur à des concepts plus avancés développés dans le Tome 2. Sommaire CHAPITRE I. INTRODUCTION CHAPITRE II. ÉQUATIONS DE CONSERVATION EN MÉCANIQUE DES FLUIDES Chapitre III. LES COMPOSANTES DE LA RÉSOLUTION D'UN PROBLÈME DE SIMULATION CHAPITRE IV. LA MÉTHODE DES VOLUMES FINIS CHAPITRE V. LES MAILLAGES POUR LA MÉTHODE DES VOLUMES FINIS CHAPITRE VI. DISCRÉTISATION SPATIALE DU TERME DIFFUSIF CHAPITRE VII. DISCRÉTISATION SPATIALE DU TERME CONVECTIF CHAPITRE VIII. DISCRETISATION TEMPORELLE CHAPITRE IX. DISCRÉTISATION DU TERME SOURCE OU DU TERME PUITS CHAPITRE X. DISCRÉTISATION D’UNE ÉQUATION DE TRANSPORT GÉNÉRALE CHAPITRE XI. IMPLÉMENTATION DES CONDITIONS AUX LIMITES CHAPITRE XII. ASSEMBLAGE MATRICIEL ET SYSTÈME LINÉAIRE CHAPITRE XIII. SOLUTIONS DES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS LINÉAIRES CHAPITRE XIV. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES INCOMPRESSIBLES RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES INDEX TABLE DES MATIÈRES
CETTE ETUDE PORTE SUR LA SIMULATION NUMERIQUE D'ECOULEMENTS TRIDIMENSIONNELS DE FLUIDES VISQUEUX INCOMPRESSIBLES POUR DES NOMBRES DE REYNOLDS ALLANT JUSQU'A QUELQUES MILLIERS. LA DEMARCHE COMPLETE D'APPROXIMATION PROPOSEE EST BATIE SUR PLUSIEURS CHOIX. LE TRAITEMENT ALGORITHMIQUE DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES EXPRIMEES EN VARIABLES PRIMITIVES SE FAIT A L'AIDE DE METHODES DE PROJECTION, PRECISEMENT LE SCHEMA ORIGINAL DE CHORIN-TEMAM ET UNE MODIFICATION DUE A GODA. UN POST-TRAITEMENT DE LA PRESSION PERMET DE PALLIER AU MAUVAIS COMPORTEMENT RENCONTRE HABITUELLEMENT DANS CE TYPE DE TECHNIQUE. LA DISCRETISATION SPATIALE SE FAIT PAR ELEMENTS FINIS LINEAIRES CONTINUS PAR MORCEAUX, BASES SUR UNE METHODE DE PETROV-GALERKIN. LES SYSTEMES LINEAIRES NON SYMETRIQUES SONT RESOLUS PAR LES SOLVEURS ITERATIFS BI-CG (BI-GRADIENT CONJUGUE), CGS (GRADIENT CONJUGUE ACCELERE) ET BICGSTAB (BI-GRADIENT CONJUGUE ACCELERE STABILISE). CEUX-CI SONT PRECONDITIONNES PAR FACTORISATION INCOMPLETE LAISSANT INVARIANT LE TAUX DE REMPLISSAGE PAR RAPPORT A LA MATRICE DU SYSTEME. LE CODE OBTENU EST VALIDE DANS UN PREMIER TEMPS SUR DES CAS STATIONNAIRES A SOLUTION CONNUE: L'ECOULEMENT DANS UNE CAVITE, L'ECOULEMENT DE POISEUILLE ET L'ECOULEMENT DE COUETTE MODIFIE. ENSUITE, LES CALCULS SONT EFFECTUES SUR LE PROBLEME INSTATIONNAIRE DE L'ECOULEMENT AUTOUR D'UN CYLINDRE ENTRE PAROIS. PLUSIEURS CONFIGURATIONS SONT ENVISAGEES PORTANT SUR LE NOMBRE DE REYNOLDS, L'ENVERGURE DU CYLINDRE ET SURTOUT LES CONDITIONS AUX LIMITES, NOTAMMENT EN SORTIE D'UN DOMAINE PEU ETENDU. ON A AINSI TESTE CINQ TYPES DE CONDITIONS SUR LA VITESSE, LA PRESSION ET/OU LE TOURBILLON. DANS LE CAS INSTATIONNAIRE, LES RESULTATS DES CALCULS SUR CRAY C98 ONT PERMIS DES COMPARAISONS AVEC DIFFERENTES ETUDES NUMERIQUES ET EXPERIMENTALES. CELLES-CI ATTESTENT DU BON COMPROMIS OBTENU PAR CETTE APPROCHE ENTRE LE COUT DES CALCULS ET LA PRECISION DES RESULTATS
Cette thèse porte sur le développement de méthodes numériques pour le calcul d’écoulements incompressibles multi-fluides sur grille de calcul, s’inscrivant ainsi dans le cadre du projet MecaGrid.Une étude de la grille MecaGrid met en évidence son caractère hétérogène et ses conséquences. Plusieurs techniques d’optimisation sont présentées afin d’améliorer son utilisation : répartir la masse de calcul de façon adaptée, et privilégier le travail des processeurs vis-à-vis des communications réseaux pénalisantes.Des méthodes numériques sur maillage non structuré composé de tétraèdres sont choisies pour réaliser la simulation directe d’écoulements multi-fluides avec capture d’interface. Nous adoptons une approche unique qui rappelle celle du Multiscale, dans laquelle la condensation d’une fonction Bulle pyramidale est utilisée comme technique universelle de stabilisation.Les équations de Navier-Stokes incompressible sont résolues par une méthode éléments finis mixtes à interpolation P1+/P1. Un schéma temporel d’Euler implicite est appliqué, en association avec un algorithme de Newton pour linéariser le problème.Les interfaces sont capturées par une technique Level Set à interpolation continue P1 qui consiste à résoudre une équation de transport stabilisée par la condensation d’une Bulle (Residual-Free Bubbles). Le couplage avec une équation d’Hamilton-Jacobi permet de réinitialiser la fonction Level Set au court de son transport. La comparaison avec une méthode Galerkin discontinue proche du Volume of Fluid montre que le Level Set se distingue par sa simplicité et l’absence de diffusion numérique.Enfin, les simulations numériques sont validées par plusieurs cas test reconnus.
AUJOURD'HUI, LES METHODES DE SIMULATION NUMERIQUE D'ECOULEMENTS DE FLUIDES PARFAITS EN AERODYNAMIQUE, MODELISES PAR LES EQUATIONS D'EULER, SONT EFFICACES ET TRES UTILISEES. POUR UNE MEILLEURE COMPREHENSION DES PHENOMENES PHYSIQUES PLUS COMPLEXES, L'ETAPE SUIVANTE CONSISTE A METTRE EN UVRE DES METHODES EFFICACES DE RESOLUTION D'ECOULEMENTS DE FLUIDES VISQUEUX COMPRESSIBLES, MODELISES PAR LES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES. L'ETUDE QUE NOUS PRESENTONS FAIT SUITE A LA MISE EN PLACE D'UN CODE DE RESOLUTION DES EQUATIONS D'EULER EN DIMENSION 2 ET CONSISTE EN L'IMPLEMENTATION DE LA RESOLUTION DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES COMPRESSIBLES BIDIMENSIONNELLES. NOUS SUIVONS LA DEMARCHE SUIVANTE: 1) NOUS RAPPELONS LA NATURE MATHEMATIQUE DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES; 2) NOUS CHERCHONS A DEFINIR DES CONDITIONS AUX LIMITES STABLES A PARTIR D'UNE METHODE D'ENERGIE POUR AVOIR UN PROBLEME BIEN POSE; 3) NOUS RESOLVONS NUMERIQUEMENT LES EQUATIONS A PARTIR DU SCHEMA DE LAX-WENDROFF A 1 PAS DE TEMPS ASSOCIE A LA METHODE DES VOLUMES FINIS POUR L'INTEGRATION EN ESPACE, NOUS ETUDIONS SA STABILITE ET IMPLEMENTONS LES CONDITIONS AUX LIMITES PROPOSEES; 4) UNE SERIE DE TESTS CLASSIQUES NOUS PERMET DE VALIDER LES DIFFERENTES OPTIONS CHOISIES; 5) DANS UNE DERNIERE PARTIE NOUS ETUDIONS ET METTONS EN UVRE DEUX TECHNIQUES D'ACCELERATION DE LA CONVERGENCE CORRESPONDANT A LA METHODE MULTIGRILLE ET A LA METHODE DE SEQUENCE DE GRILLES
TRAITEMENT NUMERIQUE DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES BIDIMENSIONNELLES STATIONNAIRES DANS LE CAS INCOMPRESSIBLE; LE DOMAINE DE CALCUL EST DIVISE EN DEUX ZONES: DANS L'UNE LE FLUIDE EST CONSIDERE COMME VISQUEUX DANS L'AUTRE COMME PARFAIT. LA METHODE DE RESOLUTION CHOISIE EST UNE METHODE D'ELEMENTS FINIS EN FONCTION DE COURANT ET TOURBILLON. ETUDE SUR L'ESTIMATION D'ERREUR DU TOURBILLON. DESCRIPTION DE L'ALGORITHME DE RESOLUTION UTILISANT UNE METHODE DE GRADIENT CONJUGUE POUR LA RESOLUTION DE L'EQUATION DE DIFFUSION-CONVECTION. RESULTATS NUMERIQUES POUR UN PROFIL NACA0012-SYMETRIQUE
