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Published: 2002

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Gran parte de la teoría moderna de análisis de supervivencia se trata mediante procesos de conteo. La importancia de este planteamiento radica en que para un tiempo de supervivencia podemos definir un proceso de conteo a partir del cual, utilizando el teorema de descomposición de Doob-Meyer, se puede enalzar directamente en la teoría de martingalas. Por lo que, debido a este planteamiento, se pueden utilizar unas herramientas muy poderosas, unas relacionadas con la teoría de martingalas y otras con la integración estocástica, que facilitan enormemente el estudio de las propiedades asintóticas de los estimadores de los parámetros, lo que ha permitido un gran avance en el análisis de supervivencia durante los últimos años. Este tratamiento del análisis de supervivencia mediante procesos de conteo tiene sus orígenes en el trabajo de Aalen (1978). Posteriormente Andersen y Gill (1982) integraron el modelo de Cox en el marco de procesos de conteo, generalizando de esta forma el tratamiento habitual de los modelos de supervivencia. En esta memoria, nosotros analizamos algunos modelos de supervivencia, bajo el supuesto de que el proceso de intensidad del proceso de conteo posee estructura multiplicativa. Nos centramos fundamentalmente en el estudio de modelos de riesgo multiplicativo, de riesgo aditivo y de riesgo aditivo-multiplicativo, considerando covariables que varían en el tiempo y diversos tipos de datos de supervivencia. Obtenemos las ecuaciones de verosimilitud y la matriz de información para los parámetros de los modelos y estudiamos propiedades asintóticas para los estimadores, tales como consistencia y normalidad asintótica, para lo que aplicamos las técncias de máxima verosimilitud clásicas junto con las de integración estocástica y el teorema central del límite de Rebolledo para martingalas locales. Nos centramos fundamentalmente en el estudio de los modelos paramétricos y semiparamétricos; el origen de ambos tipos de modelos es el mismo, partiendo de la misma función de verosimilitud, en los modelos paramétricos se supone conocida la forma de la función de riesgo base y en los modelos semiparamétricos se supone desconocida, por lo que se estima el riesgo base acumulado. Un inconveniente de los modelos semiparamétricos es que los estimadores que se obtienen generalmente involucran la función de riesgo base, por lo que la cota de eficiencia no se puede alcanzar completamente. En el primer capítulo se presentan los conceptos básicos que necesitaremos para el desarrollo de esta memoria. En la segunda sección exponemos una revisión de los conceptos relacionados con el análisis de sueprvivencia clásica, tales como la función de riesgo y la función de supervivencia, y algunos otros como censura, truncamiento y covariables. Definimos el proceso de conteo para observaciones censuradas a la derecha como ilustración de la forma de enlazar el análisis de supervivencia con la teoría de procesos. A continuación, recogemos algunos conceptos relacionados con la teorías de procesos, martingalas e integración estocástica, prestando especial atención a las propiedades locales de procesos estocásticos, en particular al concepto de martingala local que será fundamental en el desarrollo de esta memoria. Definimos el concepto de procesos de conteo y presentamos algunas características de éstos, entre la que destacamos el concepto de proceso de intensidad que juega un papel muy similar a la función de riesgo clásica. Presentamos el teorema de descomposición de Doob-Meyer para submartingalas y para submartingalas locales, con sus versiones correspondientes para procesos de conteo. Además también recogemos el Teorema de Rebolledo y la desigualdad de Lenglart en sus versiones para procesos de conteo, junto con algunos conceptos y resultados más de integración estocástica que necesitaremos. Definimos los modelos de intensidad multiplicativa y presentamos la forma de verosimilitud que vamos a utilizar para la estimación de los parámetros. Finalmente se hace una revisión de la bibliografía más destacada en el tema, dentro del contexto de los procesos de conteo. El segundo capítulo lo dedicamos a la construcción de modelos para datos de supervivencia. Analizamos distintos tipos de datos de supervivencia y su relación con los procesos de conteo. Además obtenemos las ecuaciones de verosimilitud para datos de supervivencia en diferentes situaciones y para las distribuciones más utilizadas en análisis de supervivencia. También recogemos las ideas de Borgan (1984) para el estudio de modelos paramétricos sin covariables, presentamos los modelos paramétricos de intensidad multiplicativa de un proceso de conteo general y recogemos las condiciones bajo las cuales Borgan prueba que existe una solución consistente de las ecuaciones de verosimilitud planteadas y que esta solución se distribuye asintóticamente según una ley normal multivariante. Además consideramos los modelos para datos de supervivencia con covariables y planteamos brevemente los diferentes modelos que nosotros vamos a tratar en los siguientes capítulos. En el tercer capítulo consideramos los modelos de riesgo multiplicativo, en donde suponemos que la función de riesgo tiene una estructura multiplicativa, de forma que el proceso de covariables o una función de él, actúa multiplicativamente sobre el riesgo base. Debido a la gran importancia que ha tenido el modelo semiparamétrico de Cox en el análisis de supervivencia, recogemos en primer lugar este modelo en el contexto de los procesos de conteo utilizando las ideas de Anderseny Gill (1982). Este planteamiento se puede considerar la base de todos los demás modelos de supervivencia, tanto en notación como en procedimiento. Recogemos las condiciones bajo las cuales existe un estimador consistente y bajo las que este estimador se distribuye asintóticamente según una ley normal multivariante. En la segunda parte del capítulo consideramos el modelo paramétrico de riesgo multiplicativo tratado brevemente por Borgan y aportamos el estudio de las propiedades asintóticas de los estimadores de los parámetros del modelo. Como alternativa a los modelos de riesgo multiplicativo tenemos los modelos de riesgo aditivo. Lin & Ying (1994) realizan un estudio semiparamétrico de este tipo de modelos. En el cuarto capítulo consideramos un modelo paramétrico de riesgo aditivo, obtenemos las ecuaciones de versomilitud y la matriz de información y estudiamos las propiedades de consistencia y normalidad asintótica de los estimadores. Scheike & Zhang (2000) sugieren un modelo no-paramétrico que combina el modelo multiplicativo y aditivo. En el quinto capítulo proponemos, basándonos en el trabajo de estos autores, un modelo semiparamétrico de riesgo aditivo-multiplicativo y otro modelo paramétrico de riesgo aditivo-multiplicativo. En ambos casos obtenemos las ecuaciones de verosimilitud y la matriz de información. Además demsotramos que se cumplen las propiedades de consistencia y normalidad asintótica de los estimadores.