In this work we study the global controllability of some nonlinear equations of fluids mechanics, namely Burgers type equations, a Korteweg-de Vries equation and a 2-D Navier-Stokes system. The strategy consists in both using the return method of J.-M. Coron and playing on the nonlinearity of the equation. In this way, we prove in the first part the global exact controllability of nonviscous Burgers type equations, for any positive time. We then use this result to obtain a global approximate controllability result for the viscous Burgers equation. This property, added to a local controllability result gives the global controllability of the viscous Burgers equation for any positive time. In the second part, we obtain in a similar way the global exact controllability of a nonlinear Korteweg-de Vries equation, for any positive time. Finally, in the last part, we use the same strategy and results on the Euler equation for inviscid fluids to obtain the global null controllability of a 2-D Navier-Stokes system with Navier slip boundary conditions, for any positive time.
Cet ouvrage initie le lecteur à l'analyse de certaines équations aux dérivées partielles issues de la mécanique des fluides. Celles-ci sont présentées à partir des principes fondamentaux de la mécanique et de la thermodynamique. Une partie importante du texte est consacrée aux résultats "classiques" sur les problèmes de Stokes et de Navier-Stokes homogènes incompressibles. Enfin, les derniers chapitres traitent de questions issues de travaux de recherche récents.
In this thesis, we study the exact controlability of two dispersive equations, the Korteweg-de Vries equation and the "good" Boussinesq equation. First, for the Korteweg-de Vries equation, we extend a result of Rosier. We prove that for critical length, the nonlinear equation is exactly controlable in a neighbourhood of a small non nul stationary solution. This study uses the hilbert uniqueness method with the multiplier theory and a fixed point theorem. Secondly, we study the exact controllability of the "good" Boussinesq equation with two different boundary controls. We use again the hilbert uniqueness method but with Ingham inequality. Lastly, we apply this method for a numerical approach of the controllability of the Boussinesq equation both for linear and nonlinear equations. The control is applied to the second spatial derivative, at the right endpoint.
La mécanique des fluides est un outil performant qui permet d'expliquer les phénomènes qui nous entourent de l'échelle microscopique à l'échelle macroscopique. Elle est aussi à la base du développement de nombreuses technologies. Cet ouvrage à destination des étudiants donne une vision complète de la mécanique des fluides. Bien que la mécanique des fluides puisse souvent paraître rébarbative aux yeux des étudiants, cet ouvrage valorise ce domaine d'enseignement en l'illustrant de nombreux exemples issus de l'ingénierie navale, l'aéronautique, la météorologie, etc. -- Résumé de l'éditeur.
L'objet de cette thèse est l'analyse mathématique de modèles issus de la mécanique des fluides. L'étude est centrée principalement sur les équations de Navier-Stokes incompressibles inhomogènes et les équations de Navier-Stokes compressibles isentropiques. La première partie est consacrée aux équations différentielles ordinaires associées à des champs de vecteurs a coefficients irréguliers, typiquement à dérivées intégrables. R.J. di Perna et P.-L. Lions ont été pionniers dans l'étude de champs de vecteurs à régularité W#1#,#1 et à divergence bornée, en montrant l'existence et l'unicité d'un flot X vérifiant la plupart des propriétés des flots de champs de vecteurs réguliers, valables cependant pour presque tout point initial. L'objet de la première partie est d'étendre cette théorie à des champs à divergence non bornée. La preuve repose sur la méthode des solutions normalisées pour les équations de transport, introduites par R.J. di Perna et P.-L . Lions. Dans la continuité des résultats précédents, on montre d'autre part un théorème d'existence de solutions plus fortes correspondant à des données initiales dans W#1#,#m (m > 1) pour #t +b.* = 0, le champ de vecteurs b associe étant supposé de régularité Sobolev W#s#+#1#,#p avec sp = n. Ces résultats sont ensuite appliqués a une preuve d'unicité des solutions des équations de Navier-Stokes incompressibles inhomogènes en dimension 2. Dans la deuxième partie de ce travail, on s'intéresse à des modèles de fluides incompressibles. On considère une famille de fluides incompressibles non miscibles indexes par 1,..., m dans un ouvert de r#n (n 2). Ces fluides sont caractérisés par leur densité i#1im et leur viscosité #i#1##im. Le premier chapitre traite des questions d'existence globale de solutions faibles pour les équations de Navier-Stokes incompressibles lorsque le domaine est non borné. On étudie ensuite la régularité des écoulements plans multiphasiques, en énonçant les résultats en fonction de la dispersion relative des viscosités, tout en tenant compte de l'éventuelle présence de poches de vide dans le milieu fluide. Le troisième chapitre est consacré a quelques remarques sur la régularité des solutions faibles d'une équation issue d'un modèle simplifié de magnétohydrodynamique, couplant les équations de Navier-Stokes incompressibles et les équations de maxwell. Enfin, on étudie les équations de Navier-Stokes modélisant l'évolution d'un fluide compressible isentropique. Les travaux de P.-L. Lions assurent l'existence globale en temps de solutions faibles sous certaines hypothèses sur la loi de pression. En dimension n = 2 ou 3, on peut montrer des résultats de régularité en temps petit pour des densités initiales s'annulant. Lorsque n = 2, on obtient des résultats globaux en temps, sous réserve que la densité reste bornée. On utilise pour cela une estimation logarithmique, démontrée dans le contexte des modèles incompressibles précédemment cités. Dans le second chapitre, on analyse la régularité des solutions faibles en dimension n 2, en montrant une estimation à priori qui donne des renseignements sur la régularité en temps du champ des vitesses.
Ce travail est une contribution à l’étude théorique de quelques problèmes de contrôla-bilité issus pour la plupart de la mécanique des fluides. L’accent est mis plus particuliè-rement sur la contrôlabilité de systèmes du type Navier-Stokes avec un nombre réduit decomposantes et des équations dégénérées en une dimension d’espace.Dans le Chapitre 2, on s’intéresse à l’existence de contrôles insensibilisants pour le sys-tème de Navier-Stokes. On prouve la contrôlabilité à zéro d’un système linéaire, utilisantdes inégalités de Carleman connues. On travail alors dans des espaces à poids appropriéspour appliquer un théorème d’inversion locale. Dans le Chapitre 3, on complète les résul-tats du Chapitre 2 en prouvant l’existence de contrôles insensibilisant ayant au plus deuxcomposantes non nulles. A cet effet on démontre une nouvelle inégalité de Carleman adap-tée. Dans le Chapitre 4, on étend ces résultats au système plus complexe de Boussinesq.Deux composantes sont maintenant absentes dans la variable de contrôle des équations dufluide.Le Chapitre 5 est consacré à des problèmes de contrôlabilité pour des équations li-néaires paraboliques et hyperboliques, qui dégénèrent sur le bord de l’intervalle sur lequelelles sont posées. Dans un premier temps on s’intéresse aux équations hyperboliques pourlesquelles on démontre des inégalités d’observabilité optimales en utilisant la méthode desmoments. Puis nous obtenons la contrôlabilité des équations paraboliques via une méthodede transmutation.
This volume consists of five research articles, each dedicated to a significant topic in the mathematical theory of the Navier-Stokes equations, for compressible and incompressible fluids, and to related questions. All results given here are new and represent a noticeable contribution to the subject. One of the most famous predictions of the Kolmogorov theory of turbulence is the so-called Kolmogorov-obukhov five-thirds law. As is known, this law is heuristic and, to date, there is no rigorous justification. The article of A. Biryuk deals with the Cauchy problem for a multi-dimensional Burgers equation with periodic boundary conditions. Estimates in suitable norms for the corresponding solutions are derived for "large" Reynolds numbers, and their relation with the Kolmogorov-Obukhov law are discussed. Similar estimates are also obtained for the Navier-Stokes equation. In the late sixties J. L. Lions introduced a "perturbation" of the Navier Stokes equations in which he added in the linear momentum equation the hyper dissipative term (-Ll),Bu, f3 ~ 5/4, where Ll is the Laplace operator. This term is referred to as an "artificial" viscosity. Even though it is not physically moti vated, artificial viscosity has proved a useful device in numerical simulations of the Navier-Stokes equations at high Reynolds numbers. The paper of of D. Chae and J. Lee investigates the global well-posedness of a modification of the Navier Stokes equation similar to that introduced by Lions, but where now the original dissipative term -Llu is replaced by (-Ll)O:u, 0 S Ct
LE PRESENT TRAVAIL PORTE SUR L'ETUDE MATHEMATIQUE, THEORIQUE ET NUMERIQUE, DE QUELQUES PROBLEMES ISSUS DE LA MECANIQUE DES FLUIDES. LA THESE EST DIVISEE EN TROIS CHAPITRES. LE CHAPITRE I, FLUIDE A VISCOSITE NON LINEAIRE DANS UN DOMAINE DE FAIBLE EPAISSEUR, ETUDIE L'ECOULEMENT D'UN FLUIDE INCOMPRESSIBLE DANS UN DOMAINE TRIDIMENSIONNEL POUR LEQUEL LA TROISIEME DIMENSION EST BEAUCOUP PLUS PETITE QUE LES DEUX AUTRES. L'ECOULEMENT EST REGI PAR DES EQUATIONS DU TYPE NAVIER-STOKES STATIONNAIRE, LES INCONNUES ETANT LA VITESSE ET LA PRESSION DU FLUIDE. DEUX CAS SONT TRAITES, SUIVANT LA PRESENCE OU L'ABSENCE DES FORCES VOLUMIQUES ET LES CONDITIONS AU BORD. LE CHAPITRE II, AINSI QUE LE CHAPITRE III DE LA THESE PORTENT ESSENTIELLEMENT SUR DES PROBLEMES D'HOMOGENEISATION ET DES TECHNIQUES DE PETITS PARAMETRES. LA METHODE D'HOMOGENEISATION EST UNE METHODE MATHEMATIQUE UTILISEE POUR L'ETUDE DES PROBLEMES POSES DANS UN MILIEU NON-HOMOGENE QUI PRESENTE UNE STRUCTURE PERIODIQUE. AU CHAPITRE II, CONVERGENCE TRIPLE-ECHELLE POUR LE PROBLEME DE STOKES, ON ETUDIE LE PROBLEME DE STOKES CLASSIQUE. LE PROBLEME EST POSE DANS UN DOMAINE QUI CONTIENT DES INCLUSIONS SOLIDES REPARTIES PERIODIQUEMENT, AVEC PERIODICITES DE L'ORDRE D'UN PETIT PARAMETRE ET DE L'ORDRE DE #2. POUR LE PASSAGE A LA LIMITE ON UTILISE LA METHODE DE CONVERGENCE 3-ECHELLE. LE PROBLEME HOMOGENEISE OBTENU EST UN PROBLEME A TROIS PRESSIONS. LE CHAPITRE III, CALCUL DE LA CHARGE DANS UN SYSTEME HYDRAULIQUE EST UNE ETUDE THEORIQUE ET NUMERIQUE D'UN PROBLEME PRATIQUE: LE CALCUL DE LA CHARGE DANS UN SYSTEME HYDRAULIQUE. LES EQUATIONS TRAITEES ICI SONT EGALEMENT RENCONTREES DANS D'AUTRES DOMAINES, COMME LES PROBLEMES DU TYPE THERMIQUE PAR EXEMPLE. L'ETUDE FAITE ICI PEUT DONC ETRE APPLIQUEE A UNE CLASSE PLUS LARGE DE PROBLEMES PHYSIQUES
