Author: Fabien Flori

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Published: 1998

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L'objectif de cette étude est l'analyse d'un problème de couplage fluide structure non linéaire. Les trois axes essentiels de ce travail sont la modélisation mathématique, l'analyse théorique des équations et leur résolution numérique. L'objectif de la modélisation est de donner les hypothèses qui conduisent à l'établissement des équations décrivant les comportements de la structure, du fluide ainsi que les phénomènes d'interaction qui interviennent lors d'un couplage. Le comportement du fluide est décrit à l'aide des équations de Navier-stokes compressibles et celui de la structure par l'opérateur bi harmonique des plaques. Le couplage s'exprime à l'aide de l'hypothèse de continuité des vitesses normales a l'interface et par l'introduction dans le second membre de l'équation de plaque d'un terme traduisant la contrainte exercée par le fluide sur la plaque. D'un point de vue théorique, nous donnons des résultats d'existence, d'unicité et de régularité de la solution de ce problème. On rencontre essentiellement trois difficultés. La première est liée à la condition de couplage qui est une condition de type Dirichlet qui ne peut être insérée dans la formulation variationnelle. La seconde difficulté provient du sens à donner à la trace du terme exprimant la continuité des contraintes dans l'équation de la structure. Enfin, les difficultés théoriques inhérentes aux non-linéarités sont accentuées par le couplage. En particulier, la non linéarité de l'équation de conservation de la masse du fluide nous conduit à travailler sur un domaine à frontière variable. En effet si on néglige les mouvements de la plaque dans la géométrie de la structure (hypothèse de petites perturbations), alors la conservation de la masse n'est plus vérifiée et on n'obtient pas les majorations à priori nécessaires pour montrer que le problème est bien posé. Numériquement, nous proposons une méthode de résolution spectrale suivant de près la théorie et dans laquelle la méthode de Galerkin est couplée à une technique de point fixe. A titre de comparaison, nous présentons à la fin de ce travail des résultats numériques obtenus sur un problème tridimensionnel dans lequel les équations de Von Karman sont couplées à l'équation des ondes visqueuses.