Ce travail de thèse est consacré à l'étude asymptotique d'écoulements de faible épaisseur et à la modélisation des conditions aux limites à imposer à l'interface fluide-solide dans différentes situations. Le chapitre 1 est consacré à l'étude asymptotique d'un écoulement de faible épaisseur constitué d'une couche poreuse mince adjacente à un milieu fluide mince. Dans le chapitre 2, on s'intéresse à l'étude d'un écoulement de faible épaisseur quand une des surfaces est rugeuse. Dans le chapitre 3, on étudie un écoulement d'un fluide non newtonien de type micropolaire avec de nouvelles conditions à l'interface
This volume presents a catalogue of over 2000 doctoral theses by Africans in all fields of mathematics, including applied mathematics, mathematics education and history of mathematics. The introduction contains information about distribution by country, institutions, period, and by gender, about mathematical density, and mobility of mathematicians. Several appendices are included (female doctorate holders, doctorates in mathematics education, doctorates awarded by African universities to non-Africans, doctoral theses by non-Africans about mathematics in Africa, activities of African mathematicians at the service of their communities). Paulus Gerdes compiled the information in his capacity of Chairman of the African Mathematical Union Commission for the History of Mathematics in Africa (AMUCHMA). The book contains a preface by Mohamed Hassan, President of the African Academy of Sciences (AAS) and Executive Director of the Academy of Sciences for the Developing World (TWAS). (383 pp.)
LE PRESENT TRAVAIL PORTE SUR L'ETUDE MATHEMATIQUE, THEORIQUE ET NUMERIQUE, DE QUELQUES PROBLEMES ISSUS DE LA MECANIQUE DES FLUIDES. LA THESE EST DIVISEE EN TROIS CHAPITRES. LE CHAPITRE I, FLUIDE A VISCOSITE NON LINEAIRE DANS UN DOMAINE DE FAIBLE EPAISSEUR, ETUDIE L'ECOULEMENT D'UN FLUIDE INCOMPRESSIBLE DANS UN DOMAINE TRIDIMENSIONNEL POUR LEQUEL LA TROISIEME DIMENSION EST BEAUCOUP PLUS PETITE QUE LES DEUX AUTRES. L'ECOULEMENT EST REGI PAR DES EQUATIONS DU TYPE NAVIER-STOKES STATIONNAIRE, LES INCONNUES ETANT LA VITESSE ET LA PRESSION DU FLUIDE. DEUX CAS SONT TRAITES, SUIVANT LA PRESENCE OU L'ABSENCE DES FORCES VOLUMIQUES ET LES CONDITIONS AU BORD. LE CHAPITRE II, AINSI QUE LE CHAPITRE III DE LA THESE PORTENT ESSENTIELLEMENT SUR DES PROBLEMES D'HOMOGENEISATION ET DES TECHNIQUES DE PETITS PARAMETRES. LA METHODE D'HOMOGENEISATION EST UNE METHODE MATHEMATIQUE UTILISEE POUR L'ETUDE DES PROBLEMES POSES DANS UN MILIEU NON-HOMOGENE QUI PRESENTE UNE STRUCTURE PERIODIQUE. AU CHAPITRE II, CONVERGENCE TRIPLE-ECHELLE POUR LE PROBLEME DE STOKES, ON ETUDIE LE PROBLEME DE STOKES CLASSIQUE. LE PROBLEME EST POSE DANS UN DOMAINE QUI CONTIENT DES INCLUSIONS SOLIDES REPARTIES PERIODIQUEMENT, AVEC PERIODICITES DE L'ORDRE D'UN PETIT PARAMETRE ET DE L'ORDRE DE #2. POUR LE PASSAGE A LA LIMITE ON UTILISE LA METHODE DE CONVERGENCE 3-ECHELLE. LE PROBLEME HOMOGENEISE OBTENU EST UN PROBLEME A TROIS PRESSIONS. LE CHAPITRE III, CALCUL DE LA CHARGE DANS UN SYSTEME HYDRAULIQUE EST UNE ETUDE THEORIQUE ET NUMERIQUE D'UN PROBLEME PRATIQUE: LE CALCUL DE LA CHARGE DANS UN SYSTEME HYDRAULIQUE. LES EQUATIONS TRAITEES ICI SONT EGALEMENT RENCONTREES DANS D'AUTRES DOMAINES, COMME LES PROBLEMES DU TYPE THERMIQUE PAR EXEMPLE. L'ETUDE FAITE ICI PEUT DONC ETRE APPLIQUEE A UNE CLASSE PLUS LARGE DE PROBLEMES PHYSIQUES
DANS LE CHAPITRE 1, ON CONSIDERE LE MODELE MICROPOLAIRE DE NAVIER-STOKES AVEC CONDITIONS DE BORDS DE TYPE DIRICHLET NON HOMOGENES EN DIMENSION DEUX. ON DONNERA UN RESULTAT D'EXISTANCE D'UNE SOLUTION FAIBLE EN UTILISANT LE THEOREME DU POINT FIXE DE LERAY-SCHAUDER, PUIS ON PROUVERA L'UNICITE DE LA SOLUTION FAIBLE DU PROBLEME SOUS CERTAINES HYPOTHESES. ON ETABLIERA UNE JUSTIFICATION MATHEMATIQUE DE L'EQUATION DE REYNOLDS GENERALISE A PARTIR DE CE MODELE LA. ON ETUDIERA ENSUITE LA FORME DE L'EQUATION DE REYNOLDS SUIVANT LE CHOIX DE LA VISCOSITE ET DES DONNEES INITIALES. DANS LE CHAPITRE 2, NOUS CONSIDERONS LE MODELE DE HELE-SHAW GENERALISE DANS UNE CELLULE LAMINAIRE, QUI CONSISTE A INJECTER DU FLUIDE, AVEC UN DEBIT NON CONSTANT W 0, A TRAVERS UN TROU DE FRONTIERE 1, SITUE SUR L'UNE DES DEUX SURFACES ; ET A TENIR COMPTE QUE L'UNE DES SURFACES A UNE GEOMETRIE QUELCONQUE ET ANIMEE D'UN MOUVEMENT RELATIF VERTICAL. EN INTRODUISANT UN CHANGEMENT DE VARIABLE DE TYPE BAIOCCHI, LE PROBLEME INITIAL SE RAMENE A L'ETUDE D'UNE INEQUATION VARIATIONNELLE AVEC TERME DE VOLTERRA. L'EXISTENCE D'UNE SOLUTION POUR CETTE DERNIERE EST DONNEE PAR THEOREME DU POINT FIXE DE BANACH. DES RESULTATS DE REGULARITE EN ESPACE POUR LA SOLUTION SERONT PROUVES EN INTRODUISANT UN PROBLEME PENALISE ET EN UTILISANT LA METHODE DE ROTHE (SEMI-DISCRETISATION EN TEMPS), PUIS ON MONTRERA QUE LA DERIVEE PAR RAPPORT A T DE LA SOLUTION DE L'INEQUATION VARIATIONNELLE EST DANS L#(0, T, H#2()), CE DERNIER RESULTAT NOUS PERMET DE REVENIR AU PROBLEME INITIAL. DANS LE CHAPITRE 3, ON CONSIDERE UN PROBLEME DE STEFAN A DEUX PHASES AVEC CONVECTION. LE PROBLEME EST GOUVERNE PAR UN SYSTEME COUPLE NON LINEAIRE, COMPRENANT LA LOI DE DARCY POUR UN FLUIDE NON NEWTONIAN ET L'EQUATION D'EQUILIBRE D'ENERGIE AVEC SECOND MEMBRE DANS L#1. POUR PROUVER L'EXISTENCE DE SOLUTIONS DU PROBLEME FAIBLE ON INTRODUIRA UNE FAMILLE DE SOLUTIONS APPROCHEES (#, P#), > 0, DEFINIES SUR LE DOMAINE ENTIER , EN INSERANT UNE FONCTION DE PENALITE CONVENABLE DANS L'EQUATION DE PRESSION. ON CONSIDERE ENSUITE SEPAREMENT LES PROBLEMES EN # ET P#, RESPECTIVEMENT, ET EN UTILISANT LE PRINCIPE DE POINT FIXE DE SCHAUDER, ON MONTRE L'EXISTENCE DE COUPLES SOLUTIONS (#, P#) DU PROBLEME APPROCHE, POUR TOUT > 0. EN FAISANT TENDRE VERS ZERO, ON MONTRE QUE LES SOLUTIONS DU PROBLEME APPROCHE CONVERGENT VERS UNE LIMITE (, P) QUI EST UNE SOLUTION FAIBLE DU PROBLEME VARIATIONNEL. ON MONTRE AUSSI QUE LA FONCTION EST CONTINUE D'OU LE DOMAINE OU > 0 EST UN ENSEMBLE OUVERT, ET L'INTERFACE DES DEUX PHASES EST DEFINIE A POSTERIORI COMME L'ENSEMBLE DE NIVEAU = 0. ON ETABLIRA, ENFIN, QUELQUES RELATIONS ENTRE LES SOLUTIONS FAIBLES ET CLASSIQUES, DANS LE CAS OU EST UNE COURBE ASSEZ REGULIERE.
LE SYSTEME D'EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES CONSIDERE EST CONSTITUE D'UNE EQUATION DE TYPE NAVIER-STOKES OU EULER COMPRESSIBLE OU INCOMPRESSIBLE COUPLEE AVEC UNE EQUATION DE TYPE TRANSPORT. CE SYSTEME EST D'UN TYPE COMPOSITE ET CHAQUE PROBLEME DOIT FAIRE L'OBJET D'UNE ETUDE PARTICULIERE. LA PREMIERE PARTIE (CHAPITRE 1 ET 2) EST CONSACREE A L'ETUDE D'ECOULEMENTS INCOMPRESSIBLES, UTILISANT UNE METHODE DE COMPACITE LOCALE ET LA METHODE DE POINT FIXE, NOUS AVONS MONTRE DES RESULTATS D'EXISTENCE ET D'UNICITE DE SOLUTIONS REGULIERES. NOUS AVONS D'ABORD CONSIDERE DES ECOULEMENTS DANS UN DOMAINE NON BORNE, L'ESPACE ENTIER OU UN DOMAINE EXTERIEUR REGULIER PAR EXEMPLE. NOUS AVONS AUSSI ETUDIE L'ECOULEMENT DANS UN CANAL BORNE AVEC CONDITIONS AUX LIMITES RENTRANTES A L'ENTREE, ET PERIODIQUES SUR LES PAROIS. LA DEUXIEME PARTIE (CHAPITRE 3 ET 4) EST CONSACREE A L'ETUDE D'ECOULEMENTS FAIBLEMENT COMPRESSIBLES. NOUS AVONS PROPOSE UNE MODELISATION POUR CHACUN DES CAS, INSTATIONNAIRE OU STATIONNAIRE. UTILISANT DES METHODES DE POINT FIXE, NOUS MONTRONS DES RESULTATS D'EXISTENCE DE SOLUTIONS REGULIERES: CAS DU MODELE DE JEFFREYS INSTATIONNAIRE (AVEC UNICITE), CAS DES MODELES DE MAXWELL ET JEFFREYS STATIONNAIRES, OU NOUS MONTRONS EN OUTRE LA CONVERGENCE DU CAS FAIBLEMENT COMPRESSIBLE VERS LE CAS INCOMPRESSIBLE. ENFIN NOUS PRESENTONS UNE ETUDE DE L'HYPERBOLICITE DU MODELE DE MAXWELL INSTATIONNAIRE
Le but de ce travail est l'analyse mathématique et l'approximation numérique d'un systeme d'équations aux dérivées partielles provenant de la mécanique des fluides incompressibles. Il s'agit du systeme qui gouverne l'évolution de la vitesse et la pression moyennes d'un écoulement turbulent où l'on utilise le modèle de turbulence de Smagorinsky avec des conditions aux limites simulant la couche limite. Dans la première partie on presente quelques résultats sur l'existence, unicité et régularité de solution du systeme. Dans la deuxième partie on décrit et on analyse un schéma de résolution numérique utilisant la méthode des caractéristiques et une méthode d'éléments finis mixtes. Finalement, dans la troisième partie, on discute les détails de l'implémentation du schéma et on montre quelques résultats numériques
Cette thèse est consacrée à la modélisation, à l’analyse mathématique et à la simulation numérique d’écoulements de divers fluides complexes dans des domaines de faible épaisseur. En effet, les modèles de fluides newtoniens ne sont pas toujours suffisants pour d ́ecrire de manière réaliste les écoulements considérés. Plusieurs phénomènes peuvent être pris en compte : 1. le caractère complexe des fluides eux-mêmes, comme pour des fluides non-newtoniens ; 2. l’hêtérogénéité de l’écoulement, dans le cas de mélanges de fluides par exemple. Il est important d’analyser comment ces modèles peuvent être simplifiés dans le cas de domaines minces, et d’étudier rigoureusement les modèles approchés. Dans une première partie, des écoulements de fluides non newtoniens visco-élastiques représentés par une loi de comportement de type Oldroyd-B couplée aux équations de Navier-Stokes sont étudiés. Dans le cas de géométries minces, un modèle approché a été proposé. On justifie la validité de cette approximation ; la démonstration repose sur des estimations et des résultats de régularité fins. Dans une deuxième partie, on considére un modèle d’écoulement piezovisqueux utilisé en lubrification hydrodynamique. Ce modèle fait aussi intervenir la déformation élastohydrodynamique du domaine (déformation du type Hertz), et l’aspect diphasique de la cavitation, qui est d ́écrit par le modèle d’Elrod-Adams (en pression-saturation). On montre l’existence d’une solution à ce problème pour des lois pression-viscosité réalistes. Dans une troisième partie, on introduit un modèle diphasique à interface diffuse, permettant de rendre compte de phénomènes plus fins tels que les gouttes. Pour cela, un paramètre d’ordre est introduit (fraction volumique d’une phase dans le mélange), gouverné par le modèle de Cahn-Hilliard. Un système approché est obtenu de manière heuristique pour un domaine de faible épaisseur. On étudie les propriétés mathématiques de ce système, et on montre un résultat d’existence, avec prise en compte ou non de la tension de surface. vii Dans la dernière partie, un schéma numérique est mis en place pour simuler le modèle d ́ecrit précedemment d’écoulements diphasiques en domaines minces. Il permet de prendre en compte différents phénomènes physiques, comme de grandes variations de la viscosité ou la présence de recirculations à l’intérieur d’une goutte, ainsi que de simuler des mélanges dans le cadre d’écoulements lubrifiés.
Le but de cette étude est la modélisation et l'analyse numérique d'écoulements stationnaires laminaires de fluides incompressibles en coordonnées axi-symétriques par éléments finis. La méthode des éléments finis a été introduite récemment dans l'étude des problèmes de mécanique des fluides et présente certains avantages sur la méthode des différences finies. Il y a plusieurs façons de formuler les équations de Navier-Stokes, soit en prenant comme variables primaires U, V, W les composantes de la vitesse et la pression P, soit en utilisant la fonction courant et la vorticité. Les difficultés rencontrées sont différentes, en particulier dans le dernier cas où les équations sont du 4ème ordre et présente des difficultés dans l'introduction des conditions aux limites. Le perfectionnement de ces méthodes numériques appliquées à la mécanique des fluides rend possibles des applications de plus en plus nombreuses en milieu industriel. La méthode des éléments finis y trouve une large place et la classe des problèmes posés est importante. Dans le présent travail nous nous proposons de perfectionner l'outil numérique, représenté par la méthode des éléments finis, appliqué à une classe de problèmes du type axisymétrique, parmi lesquels nous pouvons citer : - les machines à fluide tournant ; - singularités hydrodynamiques ; - convection forcée ; - surface libre déformable. Sur le plan numérique, le principal problème posé concerne la résolution de systèmes non-linéaires, Pour cela, nous apportons un soin particulier au maillage qui doit être suffisant pour assurer, dans certains cas, une bonne convergence des méthodes numériques, être également compatible avec les conditions économiques du déroulement du calcul. Des difficultés de convergence des méthodes numériques de type Newton peuvent cependant apparaître, notamment pour des nombres de Reynolds élevés, un chargement par pas devient alors nécessaire. Il est alors possible d'élaborer un modèle numérique correct des dispositifs cités ci-dessus.
