Contrôlabilité de quelques équations aux dérivées partielles paraboliques peu diffusives
Contrôlabilité de quelques équations aux dérivées partielles paraboliques peu diffusives

Author: Armand Koenig

Publisher:

Published: 2019

Total Pages: 0

ISBN-13:

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La théorie du contrôle est la branche des mathématiques qui étudie dans quelle mesure on peut modifier l'état d'un système en fonction des propriétés intrinsèques dudit système et de la façon dont on peut agir dessus. Par exemple, on peut se demander si on peut amener la température d'un solide à une température constante en temps fini, en chauffant et refroidissant seulement une partie du solide. Ce problème, appelé « contrôle à zéro de l'équation de la chaleur », est résolu depuis 1995. Mais si on étudie les équations paraboliques dégénérées, qui ressemblent à l'équation de la chaleur mais qui ont une diffusion plus faible, on ne sait traiter que quelques exemples particuliers, et la situation est plus compliquée : pour l'équation de la chaleur, la contrôlabilité à zéro est toujours vraie, même en temps arbitrairement petit ; mais pour certaines équations paraboliques dégénérées, il peut exister un temps minimal en dessous duquel la contrôlabilité à zéro n'est pas vraie. Nous étudions quelques équations paraboliques dégénérées, notamment l'équation de Grushin et des équations de type Kolmogorov, et complétons partiellement les résultats de contrôle dessus. Nous précisons en particulier la relation entre le domaine de contrôle et le temps minimal de contrôle à zéro. Cette étude se fait par une analyse spectrale fine, qui permet de ramener l'étude des équations de Grushin et de type Kolmogorov a l'étude d'équation de la chaleur fractionnaire. Nous étudions donc également les équations de la chaleur fractionnaire, grâce à des techniques et fonctions holomorphes et d'optique géométrique. Nous étudions également des systèmes transport-chaleur, et montrons qu'il existe un temps minimal de contrôle à zéro, et on généralise (presque) les résultats obtenus sur plusieurs exemples particuliers de systèmes transport-chaleur. Cette étude est basée sur une analyse spectrale qui permet de séparer les systèmes transport-chaleur en un système de transport et un système d'équations de la chaleur faiblement couplés.

Contrôlabilité pour quelques équations aux dérivées partielles
Contrôlabilité pour quelques équations aux dérivées partielles

Author: Mamadou Gueye

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Published: 2013

Total Pages: 145

ISBN-13:

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Ce travail est une contribution à l’étude théorique de quelques problèmes de contrôla-bilité issus pour la plupart de la mécanique des fluides. L’accent est mis plus particuliè-rement sur la contrôlabilité de systèmes du type Navier-Stokes avec un nombre réduit decomposantes et des équations dégénérées en une dimension d’espace.Dans le Chapitre 2, on s’intéresse à l’existence de contrôles insensibilisants pour le sys-tème de Navier-Stokes. On prouve la contrôlabilité à zéro d’un système linéaire, utilisantdes inégalités de Carleman connues. On travail alors dans des espaces à poids appropriéspour appliquer un théorème d’inversion locale. Dans le Chapitre 3, on complète les résul-tats du Chapitre 2 en prouvant l’existence de contrôles insensibilisant ayant au plus deuxcomposantes non nulles. A cet effet on démontre une nouvelle inégalité de Carleman adap-tée. Dans le Chapitre 4, on étend ces résultats au système plus complexe de Boussinesq.Deux composantes sont maintenant absentes dans la variable de contrôle des équations dufluide.Le Chapitre 5 est consacré à des problèmes de contrôlabilité pour des équations li-néaires paraboliques et hyperboliques, qui dégénèrent sur le bord de l’intervalle sur lequelelles sont posées. Dans un premier temps on s’intéresse aux équations hyperboliques pourlesquelles on démontre des inégalités d’observabilité optimales en utilisant la méthode desmoments. Puis nous obtenons la contrôlabilité des équations paraboliques via une méthodede transmutation.

Méthodes mathématiques et numériques pour les équations aux dérivées partielles
Méthodes mathématiques et numériques pour les équations aux dérivées partielles

Author: CHASKALOVIC Joël

Publisher: Lavoisier

Published: 2013-01-21

Total Pages: 382

ISBN-13: 2743064803

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Qu’il s’agisse d’applications en physique ou en mécanique, en médecine ou en biologie, mais aussi en économie, dans les médias et en marketing, ou encore dans le domaine des finances, la traduction phénoménologique du système étudié conduit très souvent à la résolution d’équations différentielles ou aux dérivées partielles. Incontestablement, ce sont les éléments finis qui ont bouleversé le monde de l’approximation numérique des équations aux dérivées partielles. Cet ouvrage est composé de deux parties : la première est un abrégé de cours portant sur les outils de base de l’analyse mathématique des équations aux dérivées partielles et la seconde contient des problèmes corrigés qui abordent l’approximation par éléments finis des formulations variationnelles des problèmes aux limites elliptiques. Des applications en mécanique des solides déformables, à la résistance des matériaux, en mécanique des fluides et en thermique ainsi que quelques problèmes non linéaires y sont présentés.Cet ouvrage s'adresse aux étudiants en sciences et techniques de l'ingénieur des universités et des grandes écoles.

Sur la Contrôlabilité Et Son Coût Pour Quelques Équations Aux Dérivées Partielles
Sur la Contrôlabilité Et Son Coût Pour Quelques Équations Aux Dérivées Partielles

Author: Pierre Lissy

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Published: 2013

Total Pages: 156

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In this work, we focus on the controllability and its cost for some linear or nonlinar partial differential equations coming from physics.The first part of the thesis deals with the null controllability of the three-dimensional Navier-Stokes equations with Dirichlet boundary conditions and internal control distributed on a subdomain acting only one of the three equations. The proof is based on the return method as well as an original method of algebraic solvability of differential systems inspired by the works of Gromov.The second part of the thesis concerns the cost of control in small time or in the vanishing viscosity limit for linear unidimensional equations. At first, we show that we can in some cases make a link between these two issues, notably that it is possible to obtain results of uniform controllability for the transport-diffusion equation with constant coefficients controlled on the left side from known results concerning the heat equation. In a second step, we look at the cost of boundary control in small time for some equations for which the associated spatial operator is self-adjoint or skew-adjoint with compact resolvent and having eigenvalues that behaves asympotically as a polynomial, using the method of moments. We deduce results for linearized Korteweg-de-Vries equation, fractional diffusion equation and fractional Schrödinger equation.

Leçons sur l'intégration des équations différentielles aux dérivées partielles
Leçons sur l'intégration des équations différentielles aux dérivées partielles

Author: M.V Volterra

Publisher: BoD - Books on Demand

Published: 2022-12-17

Total Pages: 88

ISBN-13:

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(...) "Le cours que je ferai se rapportera à quelques points de la théorie des équations différentielles de la physique mathématique. On sait que la physique mathématique traverse une période de crise. On abandonne certaines idées pour en suivre de nouvelles. Tous ceux, par exemple, qui ont lu les éloquentes pages que M. Poincaré a consacré à cette question et ceux, qui ont pris connaissance de l'état actuel de la science dans le bel ouvrage de M. Picard, sont renseignés d'une manière fort claire là-dessus. Mais, même si certains concepts que nous avons maintenant sur la nature des phénomènes naturels et quelques principes fondamentaux devaient être ébranlés par de nouveaux faits et de nouvelles découvertes, une partie de la physique mathématique a bien des chances de se sauver du naufrage. Elle représente en effet, peut-être d'une manière grossière, mais certainement d'une manière très-simple, une grande partie des faits naturels connus, les relie ensemble et a une utilité pratique hors de toute discussion (...)

Quelques Problèmes de Contrôle D'équations Aux Dérivées Partielles
Quelques Problèmes de Contrôle D'équations Aux Dérivées Partielles

Author: Matthieu Léautaud

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Published: 2011

Total Pages: 295

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Dans cette thèse, on s'intéresse à la controlabilité de différentes équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à la méthode de Lebeau-Robbiano pour le contrôle des équations paraboliques linéaires. On étend tout d'abord cette méthode à des opérateurs elliptiques non-autoadjoints, montrant une inégalité spectrale ainsi que la contrôlabilité de l'équation parabolique associée. On prouve ensuite ces deux propriétés pour un modèle de transmission à travers une interface, pour lequel la condition de transmission implique une diffusion tangentielle. La preuve repose sur une inégalité de Carleman, uniforme par rapport au petit paramètre représentant l'épaisseur de l'interface. Dans la deuxième partie, on analyse les propriétés de certains systèmes d'équations aux dérivées partielles linéaires couplées par des termes d'ordre zéro. Après avoir étudié la stabilisation de deux équations d'ondes, dont une seulement est amortie, on montre la contrôlabilité en temps grand d'un système similaire au moyen d'un seul contrôle, sous des conditionsgéométriques optimales sur les zones de contrôle et de couplage. Par des méthodes d'analyse microlocale, on obtient de plus l'expression exacte du temps minimal de contrôle. On déduit de ces résultats la contrôlabilité des systèmes paraboliques associés, dans des situations on les zones de contrôle et de couplage sont disjointes. Enfin, dans la troisième partie, on étudie la contrôlabilité uniforme de perturbations visqueuses de lois de conservation scalaires, dans la limite de viscosité évanescente. On montre la contrôlabilité exacte globale aux états constants au moyen de contrôles uniformément bornés lorsque