Author: Martine Picq

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Published: 2007

Total Pages: 165

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Cette thèse est consacrée à la résolution numérique de l’équation du Transport sous contraintes, c’est-à-dire à l’invariance d’un sous ensemble C par l’opérateur du Transport. Un cas particulier (un problème d’obstacle) où le sous ensemble des contraintes C est un convexe est traité au chapitre I. Un résultat d’existence et d’unicité est obtenu dans l’espace de Hilbert, construit avec la norme du graphe de l’opérateur du Transport, en utilisant la monotonie de l’opérateur et une méthode de pénalisation. Pour traiter le cas plus difficile ou l’ensemble des contraintes C n’est plus convexe, nous utilisons un théorème de viabilité ou d’invariance de l’ensemble C. Pour cela, nous introduisons une méthode des caractéristiques temps-espace sous forme autonome au chapitre II. Nous donnons un théorème de remplissage de l’ouvert, sur lequel nous considérons l’équation du Transport, par les courbes caractéristiques et cela pour un champ de vitesse dépendant du temps. Ce résultat permet de transformer l’équation du Transport en un ensemble d’équations différentielles ordinaires. L’utilisation de la condition de "tangence" du second membre impliquant l’invariance de l’ensemble des contraintes donnée dans le théorème de Nagumo par exemple, demande de caractériser le cône contingent à l’ensemble des contraintes qui ici n’est plus réduit à C puisque nous nous plaçons aussi sur les courbes caractéristiques. C’est l’objet du chapitre III. Nous introduisons une notion simple de contingence extérieure pour les images réciproques de convexes. Nous introduisons alors pour un champ continu une notion globale de contingence à l’image réciproque d’un convexe. Ces résultats sont essentiels pour la construction de méthodes numériques au chapitre V. Au chapitre IV, nous rappelons tout d’abord le théorème de Nagumo, puis nous l’appliquons pour l’équation du Transport. Nous donnons trois conditions suffisantes qui assurent l’invariance d’un ensemble de contraintes C qui est l’image réciproque d’un convexe par une application régulière. Une des trois conditions est une condition de transversalité. Ensuite, nous nous intéressons au cas où le second membre de l’équation du Transport ne satisfait pas ces conditions (l’ensemble des contraintes C n’est pas invariant). En utilisant la distance orientée à un ensemble, nous proposons une méthode permettant de modifier le second membre afin d’obtenir l’invariance de C par l’opérateur du Transport. Le dernier chapitre est consacré aux méthodes numériques pour calculer les solutions de l’équation du Transport laissant invariant C. Sous des hypothèses de régularité ou de monotonie, nous montrons la convergence des algorithmes que nous proposons. Enfin sur quelques exemples, nous montrons que la méthode de différences finies que nous avons mis en oeuvre est d’ordre un.